É verdade que o paradoxo traz uma declaração, aparentemente, verdadeira, mas que leva a uma contradição lógica, ou situação que contradiz o senso comum. É o oposto do que se pode pensar ser a verdade.

A etimologia do paradoxo traçada em textos oriundos do início da Renascença, quando se deu acelerado pensamento científico na Europa e Ásia e que começou por volta de 1500.

Em suas primeiras formas utilizou-se a palavra latina paradoxum, mas também são encontradas referências em textos em grego, como paradoxon (entretanto, o latim é fortemente derivado do alfabeto grego, além de que ser o português derivado do latim romano, com a adição das letras J e U.

O prefixo - para quer dizer contrário a, alterado ou oposto de, conjugada com sufixo nominal - doxa, que significa crença[2].

Dentro do contexto da filosofia moral, o paradoxo tem protagonismo nos debates sobre ética.  Por exemplo, a admoestação ética para "amar o seu próximo" não apenas contrasta, mas está em contradição com um "próximo" armado tentando ativamente matar você: se ele é bem sucedido, você não será capaz de amá-lo.

Mas, atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode ser considerado um dilema ético. Outro exemplo, é o conflito entre a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que depende do roubo para sobreviver.

Muitos paradoxos dependem de uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve.

Na mecânica quântica, muitos comportamentos paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza de Heisenberg[3], por exemplo) e alguns já foram atribuídos ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos modelos científicos.

Alfred Korzybski[4], que fundou o estudo da Semântica Geral, resume o conceito simplesmente declarando que, "O mapa não é o território".

Um exemplo comum das limitações da linguagem são algumas formas do verbo "ser". "Ser" não é definido claramente (a área de estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" com um elemento essencial, ela pode estar sujeita a paradoxos.

W. V. Quine (1962) distingue três classes de paradoxos (In: Quine, W. V. (1962) "Paradox". Scientific American, abril de 1962,):

Os paradoxos verídicos produzem um resultado que parece absurdo embora seja demonstravelmente verdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversário de Frederic na opereta The Pirates of Penzance[5] estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo aniversário.

Da mesma forma, o teorema da impossibilidade de Arrow[6] envolve o comportamento de sistemas de votação que é surpreendente, mas, ainda assim, verdadeiro.

Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que não somente parece falso como também o é demonstravelmente – há uma falácia da demonstração pretendida. As várias provas inválidas (e.g., que 1 = 2) são exemplos clássicos, geralmente dependendo de uma divisão por zero despercebida. Outro exemplo é o paradoxo do cavalo.

Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes acima pode ser uma antinomia, uma declaração que chega a um resultado autocontraditório aplicando apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. Por exemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson[7] aponta problemas genuínos na nossa compreensão das ideias de verdade e descrição.

Uma breve lista de paradoxos, a saber:

Paradoxo do enforcamento inesperado: Um paradoxo sobre as expectativas de uma pessoa sobre o momento de um evento futuro (por exemplo, um prisioneiro a ser enforcado ou um teste de escola) que ocorrerá em um momento inesperado.

Paradoxo da implicação: Premissas inconsistentes sempre resultam em argumentos válidos.

Paradoxos de distribuição: Alguns sistemas de distribuição de representantes ou deputados podem dar resultados contra-intuitivos.

Paradoxo do Paradoxo: Um paradoxo que se contradiz a si mesmo, em contradição ao conceito de paradoxo que diz ser o oposto da verdade. Logo se um paradoxo contradiz um paradoxo, ele contradiz o contrário da verdade, ou seja, ele contradiz o contraditório já contradito pelos seus argumentos contrários.

Médias – o conceito matemático de média, seja definido como média ou mediana, leva a aparentes resultados paradoxais, por exemplo, é possível que ao mover um artigo da Wikipedia para o Wiktionary, o tamanho médio de uma entrada aumente em ambos os sites, o fenômeno Will Rogers[8].

Teorema da impossibilidade de Arrow/Paradoxo da votação/Paradoxo de Condorcet: Você não pode ter todos os atributos ideais de um sistema de votação ao mesmo tempo.

Paradoxo de Banach–Tarski: Corte uma esfera em 5 (cinco) partes, monte as peças, e obtenha duas esferas, ambas do mesmo tamanho da primeira.

Paradoxo do aniversário: Em uma sala com 23 (vinte e três) pessoas, a chance de que pelo menos duas tenham a mesma data de aniversário é maior que 50%. Este resultado parece surpreendente para muitos.

Paradoxo de Borel: Funções de densidade probabilística condicional não são invariantes sob transformações de coordenadas.

Paradoxo de Burali-Forti: Se os números ordinais formassem um conjunto, ele seria um número ordinal menor do que ele próprio.

Paradoxo do elevador: Combinando as observações de um morador da cobertura com um morador do térreo a respeito de um mesmo elevador, chega-se à conclusão que "os compartimentos" deste estão sendo construídos no meio do prédio e destruídos na cobertura e no térreo.

Paradoxo de Galileu: Embora a maioria dos números não sejam quadrados, não há mais números que quadrados.

Corneta de Gabriel ou trompete de Torricelli[9]: um objeto simples com volume finito, mas com uma área de superfície infinita. Igualmente, o conjunto de Mandelbrot e vários outros fractais[10] têm área finita, mas perímetro infinito.

Paradoxo de Hausdorff: Há um subconjunto contável C de uma esfera S tal que S\C é equuidecomponível em duas cópias de si mesmo.

Paradoxo do Grand Hotel de Hilbert: Mesmo que um hotel com infinitos quartos esteja completamente cheio, ele ainda pode receber mais hóspedes.

Problema de Monty Hall[11]: Uma consequência contra-intuitiva da probabilística condicional.

Paradoxo do corvo (ou Os Corvos de Hempel): Observar um não-corvo vermelho aumenta a probabilidade de que todos os corvos sejam negros.

Paradoxo de Richard: Uma lista completa de definições dos números reais não existe.

Paradoxo de Simpson: Uma associação em subpopulações pode estar revertida na população em si. Aparentemente, quando dois conjuntos de dados suportam separadamente a mesma hipótese, unidos eles suportam a hipótese inversa.

Paradoxos da ação

Paradoxo de Abilene: Pessoas agem em contradição com o que realmente querem fazer e, portanto, acabam removendo a chance de conseguir o que queriam em primeiro lugar.

Asno de Buridan: Como uma escolha racional pode ser feita entre duas possibilidades de igual valor?

Paradoxo de Condorcet[12]: Agentes racionais podem tomar decisões coletivas irracionais.

Paradoxo do hedonismo: Quando alguém persegue a felicidade, esse alguém é miserável; mas, quando alguém persegue outro objetivo, ele atinge a felicidade.

Paradoxos epistemológicos

Paradoxo da loteria: Uma pessoa pode acreditar, de cada número, que o mesmo não será sorteado na loteria, ao mesmo tempo em que acredita que um número destes será sorteado na loteria.

Paradoxo do avô: Viaja-se no tempo para o passado e impede-se que esta mesma viagem seja feita, ou elimina-se a existência de quem viajou.

Paradoxos metafísicos

Paradoxo de Epicuro: A existência do mal é incompatível com a existência de um Deus bondoso e, ao mesmo tempo, onipotente. (Vide teodiceia[13].)

Paradoxo da pedra: Pode Deus criar uma pedra que não consiga levantar?

Paradoxos falsídicos

Estes são os paradoxos que dão resultados incorretos baseados em um raciocínio sutilmente falso.

Paradoxo de Epiménides: Um cretense diz: "Todos os cretenses são mentirosos". (Mas veja também o paradoxo do mentiroso, uma antinomia.)

Paradoxo dos cavalos: Todos os cavalos são da mesma cor.

Paradoxo do enforcamento inesperado: O dia do enforcamento deve ser um dia inesperado; portanto, ele não pode acontecer de forma alguma ou não será uma surpresa. (Similar ao paradoxo do mentiroso, uma antinomia.)

Paradoxos de Zeno[14]: Quando você chegar ao local onde a tartaruga está, ela já terá avançado um pouco, de modo que você nunca será capaz de alcançá-la.

Recomendo a leitura de artigo jurídico brilhante de Isaac Epstein intitulado O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ea/a/GmwJCwtv8cXHbJT5tGPmTCz/ Acesso em 12.11.2023.

Afinal, existe sistema político perfeito? Nesse meio século se revelaram resultados indesejáveis que poderá ocorrer quaisquer que sejam os sistemas escolhidos.

Vale a pena refletir sobre a direção cíclica e frágil do modelo democrático. Se as transformações do fazer político são emergentes, far-se-á necessário também desconfiar das soluções fáceis aos problemas sociais, já que essas, não raro, são revestidas por um caráter autoritário, hierárquico e fascista. 

Há um novo elemento na construção das democracias, para o bem ou para o mal, que são os espaços virtuais de tratativas, debates da conjuntura e campanha. Tal    qual às eleições brasileiras de 2018 (posteriores à escrita de Castells), a corrida presidencial de Trump, o Brexit ou o caso do espanhol.

Podemos, o que há em comum, respeitando as muralhas ideológicas que os distinguem, é que o uso de múltiplas frentes de plataformas virtuais, que transferem o debate político ao ciberespaço e deixam as mídias tradicionais em segundo plano.

Sem dúvidas, Sócrates é uma das figuras mais enigmáticas da história da filosofia. Há muitos mistérios sobre Sócrates e que sobreviveram sem solução. Dentre as muitas perguntas sobre ele, há: O que Sócrates quer dizer quando diz que não sabe? Essa afirmação de negação do conhecimento, deu-se o nome de Paradoxo Socrático.

Sem dúvidas, Sócrates é uma das figuras mais enigmáticas da história da filosofia. Há muitos mistérios sobre Sócrates e que sobreviveram sem solução. Dentre as muitas perguntas sobre ele, há: O que Sócrates quer dizer quando diz que não sabe? Essa afirmação de negação do conhecimento, deu-se o nome de Paradoxo Socrático.

O paradoxo socrático é de origem epistêmica e que curiosamente não fora aparentemente percebido por seus ouvintes e interlocutores nos diálogos. Sócrates apresentou uma posição aparentemente inconsistente, que é formada pela afirmação de duas ideias que parecem ser contraditórias.

“Só sei que nada sei”.[15] A primeira ideia é que Sócrates nada sabe, coloca-se como ignorante sobre assuntos fundamentais, afirma desconhecer as virtudes. De aporexia em relação ao conhecimento, no entanto, ao mesmo tempo, demonstrou, uma quantidade grande de conhecimento usado para desconstruir as teses dos que julgam conhecer a natureza das virtudes.

Questiona-se é possível experimentar a chuva sem saber explicá-la, seria possível experimentar a virtude sem saber justificá-la?[16] Não é nem pela via divinatória e nem pela experiência que Sócrates afirmou ter graves razões para defender que mais vale sofrer uma injustiça do que praticá-la.

Referências

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BERISTÁIN, Helena. Diccionario de retórica y poética. Ciudad del México: Editorial Porrúa, 1995.

CHERUBIM, S. Dicionário de figuras de linguagem. São Paulo: Pioneira, 1989.

DAMO, Homero. O Paradoxo Socrático: A Ideia de Saber Que Nada se Sabe. Griot: Revista de Filosofia. v.12. n.2, dezembro /2015.

DO AMARAL, Ilana Viana. O "conceito" de Paradoxo (constantemente referido a Hegel) Fé, história e linguagem em S. Kierkegaard. Disponível em: https://tede.pucsp.br/bitstream/handle/11788/1/Ilana%20Viana%20do%20Amaral.pdf Acesso em 12.11.2023.

EPSTEIN, Isaac. O paradoxo de Condorcet e a crise da democracia representativa. Disponível em: https://www.scielo.br/j/ea/a/GmwJCwtv8cXHbJT5tGPmTCz/ Acesso em 12.11.2023.

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FRAGA, Olívia. O que é um paradoxo? Paradoxos são expressões numéricas ou verbais com uma contradição interna - verdadeiras charadas de lógica. Disponível em: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-um-paradoxo Acesso em 12.11.2023.

HOLANDA, Aurélio Buarque. Novo dicionário da língua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1975.

MEYER, Michel. O filósofo e as paixões: esboço de uma história da natureza humana. Tradução de Sandra Fitas. Lisboa: ASA, 1994.

MOTA, José Maurício; HOFF, Paulo M. Fenômeno de Will Rogers: O que Todo Médico Deve Saber. Disponível em: https://www.anm.org.br/wp-content/uploads/2021/10/2021-09-anm-anais-volume-192-3-pag-167-173.pdf Acesso em 12.11.2023.

Paradoxos. Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2018. Disponível em: https://plato.stanford.edu/entries/paradoxes/. Acesso em 12.11.2023.

PERELMAN, Chaïm; OLBRECHTS-TYTECA, Lucie. Tratado da argumentação: a nova retórica. Tradução de Maria Ermantina de Almeida Prado Galvão. 2. ed. São Paulo: Martins Fontes, 2005.

PLATÃO. Apologia de Sócrates / Rio de Janeiro Tecnoprint.

________. A república: texto integral / São Paulo: Martin Claret , 2006.

________. Diálogos: o banquete; Fedon; sofista; politico / 2. ed. São Paulo:  Abril Cultural 1983.

QUINE, W. V. (1962) "Paradox". Scientific American, abril de 1962.

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SALVAGNU, Julice. Ruptura: a crise da democracia liberal. Manuel Castells, Zahar, Rio de Janeiro, Brasil, 2018.

TRINGALI, D. Introdução à retórica: a retórica como crítica literária.  São Paulo: Livraria Duas Cidades, 1988.

WOODS, John. Os paradoxos da Lógica. São Paulo: Perspectiva, 2017.

Notas:

[1] A universal verdade do trágico diante das relações da eticidade. E, considerar a fé como sendo a síntese entre o universal e a sua dissolução. A contradição absoluta traduzida pelo paradoxo, ou seja, esta supõe que aquele mesmo que forma mesmo que em personas, ele mesmo realiza, retoma e repete o movimento da fé que ele expõe e, isso a despeito de que ele diga o que tenha a dizer, ou exatamente o contrário. A contradição mais absoluta diante do mais elevado dos movimentos, do alta das paixões, é a determinação a partir da qual apenas, é possível que esta descreva também os demais tipos de relação com a existência, as paixões, menos altas, estéticas ou éticas, pois o que permite a exposição de tais tipos é o fato deles serem pensados a partir da referência absoluta ou da contradição total que apenas aquele que fez o movimento da fé poderá alcançar.

[2] Segundo Abbagnano (1998), paradoxo também pode ser definido como um sistema de crenças, contrárias a opinião da maioria.  Aristóteles, em Refutações sofísticas (cap. 12), considera a redução de um discurso a uma opinião paradoxal como o segundo fim da Sofística (o primeiro é a refutação, ou seja, provar a falsidade da asserção do adversário). Bernhard Bolzano intitulou Paradoxos do infinito (1851) o livro no qual introduziu o conceito de infinito como um tipo especial de grandeza, dotado de características próprias, e não mais como limite de uma série. [...]. No sentido religioso, chamou-se Paradoxo a afirmação dos direitos da fé e da verdade do seu conteúdo em oposição às exigências da razão (ABBAGNANO, 1998, p.  742).

[3] O princípio de incerteza de Heisenberg pode ser enunciado como segue: não podemos determinar simultaneamente, com precisão arbitrária, a energia de uma partícula e o instante de tempo no qual ela tem essa energia. O princípio da incerteza é um dos pilares da Mecânica Quântica. Esse fundamento afirma que a posição e a velocidade de um corpo não podem ser conhecidas simultaneamente com total precisão. Os conceitos de incerteza podem ser divididos em quatro grupos: incertezas subjetivas, incertezas do tipo keynesiano, incertezas de Knight e as expectativas racionais.

[4] Alfred Habdank Skarbek Korzybski (1879 - 1950), foi um engenheiro, cientista, matemático e filósofo conhecido por ter desenvolvido a teoria da semântica geral. A obra de Korzybski culminou na fundação da disciplina que chamou de "semântica geral". Como disse explicitamente, a semântica geral não deve confundir-se com a semântica, uma disciplina diferente. Os princípios básicos da semântica geral, que incluem o time-binding, estão traçados em Science and Sanity, publicado em 1933. Em 1938 Korzybski fundou o Instituto de Semântica geral, que dirigiu até à sua morte. A essência da obra de Korzybski é a declaração de que os seres humanos estão limitados no seu conhecimento pela estrutura do seu sistema nervoso e pela estrutura das suas línguas. Os seres humanos não podem experimentar o mundo diretamente, só através das suas abstrações (impressões não verbais que provêm do sistema nervoso e indicadores verbais que provêm da língua). Por vezes as percepções e a língua confundem o homem que crê que são os factos com os quais deve lidar. O entendimento humano do que está a passar-se carece em ocasiões de similaridade de estrutura com o que está realmente a passar-se. Colocou ênfase nos benefícios de treinar a consciencialização da abstração usando técnicas que tinha obtido do seu estudo da matemática e da ciência. Chamou a esta consciencialização, meta do seu sistema, "consciência da abstração". O seu sistema trata de modificar a maneira na qual os humanos lidam com o mundo.

[5] The Pirates of Penzance, or The Slave of Duty (Os Piratas de Penzance, ou O Escravo do Poder - Brasil; O Rei dos Piratas - Portugal) é uma ópera cômica em dois atos, com música de Sir Arthur Sullivan e texto de W. S. Gilbert. Foi apresentado pela primeira vez no Teatro da Quinta Avenida em Nova York, em 31 de dezembro de 1879. A estreia europeia foi em 3 de abril de 1880 em Londres, onde foi executado 363 vezes.

A história diz respeito a Frederico, que, tendo completado 21 anos, é libertado de seu aprendizado para um bando de piratas de coração terno. Ele conhece as filhas do major-general Stanley, incluindo Mabel, e os dois jovens se apaixonam instantaneamente. Frederico logo descobre, no entanto, que nasceu no dia 29 de fevereiro e, por isso, tecnicamente, faz aniversário apenas uma vez a cada ano bissexto. Sua escritura especifica que ele permanecerá aprendiz dos piratas até seu "vigésimo primeiro aniversário", o que significa que ele deve servir por mais 63 anos. Vinculado por seu próprio senso de dever, o único consolo de Frederico é que Mabel concorda em esperá-lo fielmente. Pirates foi a quinta colaboração de Gilbert e Sullivan e introduziu a muito parodiada "Major-General's Song". A ópera foi executada por mais de um século pela D'Oyly Carte Opera Company na Grã-Bretanha e por muitas outras companhias de ópera e companhias de repertório em todo o mundo. Produções modernizadas incluem a produção da Broadway de Joseph Papp em 1981, que teve 787 apresentações, ganhando o Tony Award de Melhor Revival e o Drama Desk Award de Melhor Musical, e gerando muitas imitações e uma adaptação cinematográfica de 1983. Pirates continua popular hoje, tomando seu lugar junto com The Mikado e H.M.S. Pinafore como uma das óperas mais frequentemente tocadas de Gilbert e Sullivan.

[6] O Teorema da impossibilidade de Arrow é um teorema atribuído ao economista estadunidense Kenneth Arrow, geralmente aplicável aos sistemas de votação. Ele reflete o fato de que a agregação de ordens de preferência individuais não produz uma ordem de preferência coletiva obedecendo, todas, a certos critérios desejáveis.

[7] O paradoxo Grelling-Nelson aponta problemas genuínos na nossa compreensão das ideias de verdade e descrição. Basicamente, este paradoxo trabalha com duas palavras inventadas, heterológica (palavra que não descreve a si mesmo) e autológica (palavra que descreve a si mesmo). O Paradoxo de Grelling-Nelson é um paradoxo semântico e autorreferencial formulado em 1908 por Kurt Grelling e Leonard Nelson, às vezes erroneamente atribuído ao filósofo e matemático alemão Hermann Weyl. É, portanto, ocasionalmente chamado "Paradoxo de Weyl", bem como "Paradoxo de Grelling". É bastante análogo a vários outros paradoxos bem conhecidos, em particular, o Paradoxo do barbeiro e o Paradoxo de Russell.

[8] Will Rogers era notabilizado por sua irreverência e talento cômico, brincando literalmente com tudo que estava ao seu alcance. Viveu durante grande depressão econômica bem no início da década de 1930, observou a intensa migração de pessoas das cidades interioranas para as grandes capitais.  É atribuída a ele a frase: “When the Okies left Oklahoma and moved to California, they raised the average intelligence level in both states” [em tradução livre: quando os naturais de Oklahoma saíram de lá e mudaram-se para a California, eles aumentaram a média do nível de inteligência nos dois estados]. A conclusão de Rogers parte de três premissas fundamentais, que estão implícitas em sua piada: (i) a média de inteligência entre os californianos seria menor que a média da inteligência das pessoas de Oklahoma; (ii) as pessoas de Oklahoma que migram teriam menor inteligência comparada ao seu grupo de origem; e (iii) as pessoas de Oklahoma que migram teriam maior inteligência comparada aos californianos. Mas qual a relação disso tudo com a Medicina? Foi apenas em 1985 que Alvan Feinstein e coautores cunharam o termo “Fenômeno de Will Rogers” para descrever o viés resultante de mudanças na classificação diagnóstica. Nesse artigo, duas cortes de pacientes com câncer de pulmão foram analisadas: pacientes tratados em 1977 (N=131) e pacientes tratados entre 1953 e 1964 (N=1266). Os autores notaram um aumento de sobrevida global em todos os subgrupos da coorte mais recente quando comparada à mais antiga. Mantendo um saudável ceticismo necessário à boa ciência, os autores não atribuíram simplesmente seus resultados a avanços médicos do tempo mais moderno, como por exemplo, o uso de esteroides, antibióticos, e cuidados hospitalares em geral. Ao contrário, os autores demonstraram que o aumento observado na sobrevida desses pacientes era irreal, um mero artefato secundário as mudanças na classificação dos pacientes antes considerados como não-metastáticos para metastáticos. Esse fenômeno de migração de estágio ocorreu em decorrência do uso de métodos radiológicos mais sensíveis para detectar doença metastática.

[9] O infinito é um conceito que por muitas vezes desafia nossa intuição e nos faz cometer erros, pois temos a ideia que o infinito está necessariamente ligado a algo ilimitado. No Cálculo Diferencial e Integral, por exemplo, definimos integral definida f x d x ba considerando uma função f contínua num intervalo fechado e limitado [a,b]. Porém, em algumas aplicações nos deparamos com casos em que o intervalo é infinito ou a função f tem uma descontinuidade infinita no intervalo. Nesses dois casos, temos uma integral imprópria. Indícios desse problema já foram observados, no século XVII, onde em 1641, o físico e matemático italiano Torricelli notou que uma área infinita, se submetida a uma rotação em torno de um eixo de seu plano, pode às vezes fornecer um sólido de revolução de volume finito. Algo infinito pode gerar algo finito?! Isso desencadeia uma controvérsia sobre a natureza do infinito e gera um verdadeiro paradoxo. Um desses fascinantes sólidos de revolução é a Trombeta de Gabriel ou de Torricelli que é gerado a partir de uma hipérbole equilátera e podemos enunciar como o Paradoxo do Pintor e a Trombeta de Gabriel: “Se uma área infinita, limitada pela hipérbole xy = 1, a reta x = 1 e o eixo das abscissas é girada em torno do eixo, o volume do sólido gerado com essa rotação é finito. Dado que tal área é infinita, seria necessária uma quantidade infinita de tinta para poder pintá-la, porém, bastaria uma quantidade finita de tinta para poder preenchê-la, uma vez que o volume é finito.” De modo intuitivo, poderíamos enchê-la de tinta, mas nem toda tinta do mundo poderia pintar sua superfície. Sem dúvida um exemplo contraintuitivo que envolve o infinito. De posse disso, o presente trabalho deseja apresentar através do Paradoxo do Pintor e a Trombeta de Gabriel uma abordagem para o ensino de integrais impróprias tanto para alunos do Ensino Superior, quanto para alunos do Ensino Médio que desejam aprofundar os seus estudos de Cálculo. Para isso, fazemos um resgate de conteúdos como comprimento de curva, área de superfície de revolução, volume de um sólido de revolução e hipérbole.

[10] Os fractais são formas geométricas que possuem um padrão interessante em sua construção, formando figuras muitas vezes bonitas e intrigantes. Em um fractal, cada parte é similar ao todo. A área da Matemática que estuda os fractais é conhecida como Geometria dos fractais, que analisa as propriedades e o comportamento das figuras de alta complexidade. Existem vários tipos de fractais, os mais comuns são os geométricos e os aleatórios. Os fractais estão presentes na natureza, como ramificações das árvores, flocos de neve, entre outros. Também existem vários exemplos de fractais em nosso corpo, como os vasos sanguíneos e os alvéolos pulmonares.

[11] A resposta intuitiva ao problema é a que quando o apresentador revelou uma das portas não-premiadas, o concorrente passaria a ter à frente um novo dilema, com apenas duas portas e um prêmio, portanto as chances de o prêmio estar em qualquer uma das duas portas passaria a ser de 50%.

[12] O problema fundamental contido no paradoxo de Condorcet envolve o desafio de conciliar interesses e identidades diferentes em um processo político coletivo, sem comprometer os valores democráticos como liberdade, igualdade política e direitos inatos. Destaca-se que o governo representativo não é apenas um procedimento, mas deve estar direcionado para o bem comum e o bem da comunidade. Procedimentos seguros de agregação de preferências individuais não são suficientes se o processo político não estiver voltado para algo transcendente, como o bem comum.

[13] Teodiceia é a tentativa de justificar Deus, tanto a sua existência como atributos (sobretudo bondade e onipotência), diante dos males presentes no mundo. Teodiceia é um termo derivado do título da obra Ensaio de Teodiceia do filósofo alemão Leibniz, que sustenta a existência de Deus a partir da discussão do problema da existência do mal e de sua relação com a bondade de um Deus onisciente e onipotente. O termo teodiceia provém do grego θεός - theós, "Deus" e δίκη - díkē, "justiça", que significa, literalmente, "justiça de Deus", sendo uma área da filosofia que, entre outras coisas, busca uma resposta ao Paradoxo de Epicuro e ao "problema do mal". Após o Holocausto, vários teólogos judeus desenvolveram uma nova resposta ao problema do mal, às vezes chamada de anti-teodicéia, que afirma que Deus não pode ser justificado de forma significativa. A Teodiceia é um termo filosófico que se refere à tentativa de conciliar a existência de Deus com a existência do mal e do sofrimento no mundo. É uma área de estudo que busca responder à pergunta: como pode um Deus bom e todo-poderoso permitir a existência do mal? A palavra “teodiceia” é derivada do grego “theos” (Deus) e “dike” (justiça), e foi cunhada pelo filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz no século XVIII.

[14] Segundo o filósofo grego Zenão ou Zeno, por mais rápido que Aquiles se movesse, ele jamais conseguiria ultrapassar a tartaruga. O paradoxo formulado por Zenão é o seguinte: cada vez que Aquiles percorre determinada distância num espaço de tempo, a tartaruga já percorreu uma outra distância. Se Aquiles se movimentar mais um tanto para alcançar a tartaruga, terá que se defrontar com o fato de que a tartaruga já terá percorrido mais um tanto, por menor seja. Esse fato se repetirá indefinidamente. Por mais que Aquiles corra, sempre haverá um espaço a separá-lo da tartaruga. As conclusões de Zenão contrariam o senso comum, que aponta para uma vitória esmagadora de Aquiles, é claro. Mas o que Zenão estava fazendo era demonstrar que o movimento dos objetos é um fenômeno irreal e contraditório, consistindo sempre em mera ilusão dos sentidos. Formulando essas demonstrações a respeito do movimento, Zenão estava ajudando seu amigo, o filósofo Parmênides, a desenvolver suas demonstrações das leis do movimento.

[15] Sócrates nunca disse “só sei que nada sei”. Muito menos defendia ser um ignorante. O que o filósofo fez foi redefinir o que significa sabedoria. A partir dele, ser sábio passou a ser alguém que busca entender os limites do próprio conhecimento, ao invés de querer ser um erudito que de tudo declara saber.

Acredita-se que tenha surgido originalmente em textos escritos em latim, como em "ipse se nihil scire id unum sciat" de Cícero, ou em Nicolau de Cusa com "scio me nihil scire" e "scio me nescire". É possível que seja, então, uma paráfrase de um texto grego antigo, encontrada apenas em latim e vertida na contemporaneidade para o grego catarévussa como "[ἓν οἶδα ὅτι] οὐδὲν οἶδα", (lê-se: [hèn oîda hóti] oudèn oîda). Logo, esse problema teria surgido já na época da tradução latina, muito provavelmente por utilizarem apenas o verbo scire (saber, entender) para traduzir palavras distintas do grego, como (syn)eidénai, epístamai, gignṓskein, sophía e sophós. O dizer está relacionado com o relato de Querefonte sobre a resposta da sacerdotisa (pítia), no Oráculo de Delfos, em relação à questão "quem é o homem mais sábio da Grécia?". Essa consulta foi narrada por Platão em sua Apologia e por outro discípulo de Sócrates, Xenofonte, em um outro texto também chamado Apologia. No entanto, nesse último relato é dito apenas que ninguém seria mais justo, livre e sensato que Sócrates, não aparecendo a palavra 'sábio.